A potenciação e a radiciação são operações matemáticas fundamentais, utilizadas em diversos contextos, desde cálculos simples até aplicações em álgebra, física e engenharia.
A potenciação e a radiciação são operações matemáticas fundamentais, utilizadas em diversos contextos, desde cálculos simples até aplicações em álgebra, física e engenharia.
A potenciação e a radiciação são operações matemáticas fundamentais, utilizadas em diversos contextos, desde cálculos simples até aplicações em álgebra, física e engenharia. A potenciação pode ser vista como uma forma de notação simplificada de multiplicações repetidas, enquanto a radiciação é a operação inversa, permitindo encontrar números que, elevados a determinada potência, resultam em um valor específico.
Este artigo apresenta definições formais, propriedades, exemplos práticos e exercícios sobre potenciação e radiciação, incluindo expoentes inteiros, negativos e fracionários, oferecendo uma compreensão completa dessas operações.
Seja \( a \) um número real não nulo e \( n \) um número inteiro não negativo. Define-se a potência de \( a \) elevada a \( n \) recursivamente:
\[
a^0 = 1
\]
\[
a^{n+1} = a^n \cdot a
\]
Nessa definição:
\(3^1 = 3\)
\(3^5 = (((3^3 \cdot 3) \cdot 3) \cdot 3) = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 243\)
Observa-se que a potenciação com expoentes positivos corresponde à multiplicação repetida da base pelo número de vezes indicado pelo expoente.
Para manter coerência com as propriedades das potências, define-se a potenciação com expoentes inteiros negativos da seguinte forma:
Se \( a \neq 0 \) e \( n \) é inteiro positivo:
\[
a^{-n} = \frac{1}{a^n}
\]
\(7^{-1} = \frac{1}{7}\)
\(2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}\)
\(\left(-\frac{1}{2}\right)^{-5} = 32\)
Portanto, expoentes negativos correspondem a potências do inverso da base.
A radiciação é a operação inversa da potenciação, permitindo determinar um número que, elevado a uma potência, resulta em outro número.
Sejam \( a \) e \( b \) números reais não nulos, de mesmo sinal, e \( n \) um inteiro positivo. Se \( b^n = a \), define-se:
\[
\sqrt[n]{a} = b
\]
Exemplos:
\(\sqrt[3]{-32} = -2\)
\(\sqrt[4]{81} = 3\)
A partir da radiciação, definimos potências com expoentes racionais. Seja \( a \ge 0 \) e \( r = \frac{m}{n} \), então:
\[
a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}
\]
Observação: não é possível definir raízes de índices pares de números negativos, pois resultaria em contradições matemáticas.
Para números reais não negativos e números racionais, as seguintes propriedades são válidas:
Para expoentes inteiros positivos, as propriedades (i), (iii) e (iv) são válidas mesmo que as bases sejam negativas ou nulas.
(a) \(2^2 \cdot 2^6 = 2^{2+6} = 2^8\)
(b) \(5^2 / 5^5 = 5^{2-5} = 5^{-3} = \frac{1}{125}\)
(c) \(\left(3^{3/4}\right)^{2/3} = 3^{(3/4 \cdot 2/3)} = 3^{1/2} = \sqrt{3}\)
(d) \((2 \cdot 3)^4 = 2^4 \cdot 3^4 = 16 \cdot 81 = 1296\)
(e) \(\left(\frac{2}{3}\right)^4 = \frac{2^4}{3^4} = \frac{16}{81}\)
A potenciação e a radiciação são operações essenciais que estruturam grande parte da Matemática. O conhecimento profundo dessas operações permite o estudo de álgebra, cálculo, equações exponenciais e funções, além de aplicações em física, química, economia e tecnologia.
Compreender a definição recursiva, as potências de expoentes negativos e fracionários, bem como as propriedades fundamentais, é indispensável para o desenvolvimento do raciocínio matemático e para a resolução de problemas em múltiplos contextos.
Palavras-chave: Potenciação, Radiciação, Expoentes, Potências, Raízes, Matemática Básica, Álgebra.
Solução passo a passo:
\(2^5 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 32\)
Solução passo a passo:
\((-3)^4 = (-3) \cdot (-3) \cdot (-3) \cdot (-3) \)
\(= 9 \cdot 9 = 81\)
Solução passo a passo:
Pela definição de potenciação, qualquer número diferente de zero elevado a 0 é 1.
\(5^0 = 1\)
Solução passo a passo:
\(2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{2 \cdot 2 \cdot 2} = \frac{1}{8}\)
Solução passo a passo:
\((-2)^{-2} = \frac{1}{(-2)^2} = \frac{1}{4}\)
Solução passo a passo:
Pela propriedade \((a^m)^n = a^{m \cdot n}\)
\((3^2)^3 = 3^{2 \cdot 3} = 3^6 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 729\)
Solução passo a passo:
Pela propriedade \(a^m \cdot a^n = a^{m+n}\)
\(4^3 \cdot 4^2 = 4^{3+2} = 4^5 = 1024\)
Solução passo a passo:
Pela propriedade \(\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}\)
\(\frac{5^4}{5^2} = 5^{4-2} = 5^2 = 25\)
Solução passo a passo:
Pela propriedade \((a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n\)
\((2 \cdot 3)^3 = 2^3 \cdot 3^3 = 8 \cdot 27 = 216\)
Solução passo a passo:
Expoente fracionário: \(a^{1/n} = \sqrt[n]{a}\)
\(8^{1/3} = \sqrt[3]{8} = 2\)
Solução passo a passo:
\(\left(\frac{1}{2}\right)^4 = \frac{1^4}{2^4} = \frac{1}{16}\)
Solução passo a passo:
\(\left(-\frac{3}{4}\right)^3 = -\frac{3}{4} \cdot -\frac{3}{4} \cdot -\frac{3}{4}\)
\(= \frac{27}{64} \cdot -1 = -\frac{27}{64}\)
Solução passo a passo:
Pela propriedade \(\frac{a^m}{b^n} = a^m \cdot b^{-n}\)
\(\frac{2^{-3}}{4^{-2}} = 2^{-3} \cdot 4^2 = \frac{1}{8} \cdot 16 = 2\)
Solução passo a passo:
Primeiro, usar \(a^m \cdot a^n = a^{m+n}\):
\(5^2 \cdot 5^3 = 5^{2+3} = 5^5\)
Depois, elevar ao quadrado: \((5^5)^2 = 5^{5 \cdot 2} = 5^{10}\)
Solução passo a passo:
\(3^4 / 3^2 = 3^{4-2} = 3^2\)
\((3^2)^3 = 3^{2 \cdot 3} = 3^6 = 729\)
Solução passo a passo:
\(\left(\frac{4}{5}\right)^{-2} = \left(\frac{5}{4}\right)^2 = \frac{25}{16}\)
Solução passo a passo:
\((2^3 \cdot 3^2)^2 = (2^3)^2 \cdot (3^2)^2 = 2^{3 \cdot 2} \cdot 3^{2 \cdot 2} = 2^6 \cdot 3^4 = 64 \cdot 81 = 5184\)
Solução passo a passo:
Escrever como raiz quarta: \(16^{3/4} = (\sqrt[4]{16})^3\)
\(\sqrt[4]{16} = 2 \implies 2^3 = 8\)
Solução passo a passo:
Escrever como raiz cúbica ao quadrado: \((-27)^{2/3} = (\sqrt[3]{-27})^2\)
\(\sqrt[3]{-27} = -3 \implies (-3)^2 = 9\)
Solução passo a passo:
\((2^3)^2 = 2^{3 \cdot 2} = 2^6 = 64\)
\(64 \cdot 5^2 = 64 \cdot 25 = 1600\)
\(\frac{1600}{10^2} = \frac{1600}{100} = 16\)
